Faculdade de Matemática: Teoria dos Números

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Faculdade de Matemática: Teoria dos Números é uma disciplina do curso superior de Matemática.

A parte de Teoria dos Números vista é vista na disciplina de Elementos de Matemática que é uma disciplina de 4 créditos de carga horária total de 60 horas, vista no curso de Licenciatura em Ciências Exatas de São Carlos. É uma disciplina do segundo semestre do terceiro ano de graduação oferecida na habilitação em matemática e não possui requisitos.

As aulas são teóricas, realizadas em um dia, em 4 aulas.

Nessa matéria é estudado inicialmente as Noções de Lógica, em que são estudados:

• Proposições e Conectivos Lógicos
• Proposições compostas e Tabelas-verdade
• Tautologia e Equivalência Lógica
• Teoremas
• Definição de =? e ??
• Quantificadores
• Método Dedutivo
• Métodos de Demonstração

Depois é visto a Teoria dos Conjuntos em que tradicionalmente a teoria dos números se preocupa com suas propriedades. A maioria das noções em Matemática são definidas utilizando outras noções que já foram estabelecidas. Assim para definirmos uma noção, precisamos de outra pré-estabelecida, para esta outra, precisamos de mais outra, etc... Aí surge a pergunta natural: E a primeira de todas as noções como é estabelecida? E natural que esta primeira noção não possa ser definida usando-se outra pré - estabelecida, de onde concluímos que não podemos definir tudo. Somos obrigados, ao iniciar o estudo de um certo conteúdo matemático, adotar, sem definir, as primeiras noções, que são chamadas noções primitivas. Isto foi o que Euclides (330 a.C. a 270 a.C.) fez com a Geometria quando escreveu "Os Elementos", onde alguns axiomas foram admitidos e tudo o mais foi deduzido a partir deles. Na Teoria dos Conjuntos são estudados:

• Noções Primitivas, Definições e Axiomas
• Operações com Conjuntos
• O Produto Cartesiano de Dois Conjuntos

Depois é visto as Relações, em que são estudados:

• Definições e Exemplos
• Relações de Equivalências e Partições
• Relações de Ordem
• Funções

Depois é visto Noções de Cardinalidade, em que são estudados:

• Conjuntos Equipotentes, Enumeráveis e Contáveis
• Números Cardinais e a Hipótese do Contínuo
• Cardinal de um conjunto - Teorema de Cantor
• Aritmética Cardinal Adição de Números Cardinais
• Multiplicação de Números Cardinais
• Potências de Números Cardinais

Depois são visto os Números Naturais, em que são estudados:

• Os Axiomas de Peano
• Adição em N
• Multiplicação em N
• Relação de Ordem em N

Depois são visto os Números Inteiros, em que são estudados:

• A adição em Z
• A multiplicação em Z
• Relação de Ordem em Z
• A Imersão de N em Z
• Valor Absoluto
• Aritmética em Z
• Múltiplos e Divisores
• Algoritmo da divisão ou algoritmo de Euclides
• Máximo Divisor Comum
• Números Primos
• Congruência e Aplicações
• Critérios de Divisibilidade
• A validade de um número de CPF
• Em que dia da semana você nasceu?

Depois são visto os Números Racionais, em que são estudados:

• A adição em Q
• A multiplicação em Q
• Relação de Ordem em Q
• A Imersão de Z em Q

Planos da disciplina

Os planos dessa disciplina são dar os fundamentos básicos em elementos de matemática que serão posteriormente utilizados em Estruturas Algébricas.

Bibliografia

A Bibliografia sugerida são os livros chamados Elementos de Teoria dos Conjuntos de Castrucci, Topologia Geral de Lipschutz, Bridge to Abstract Mathematics de Morash, Proofs and Fundamentals : a Fisrt Course in Abstract Mathematics, de Bloch, Álgebra Moderna de Monteiro, Teoria dos Conjuntos, de Lipschutz. E é oferecido também as notas de aula da professora Ires Dias e da professora Sandra Maria Semensato de Godoy de São Carlos 2012. A professora Ires Dias é também a coordenadora do Mestrado Profissional da Usp São Carlos, o Profmat.

Informações complementares

Um grande pensador em teoria dos números foi Frege que publicou em 1879 um trabalho chamado Begriffsschrift em que filósofos consideram o mais importante trabalho desde Aristóteles. A lógica silogística foi desenvolvida pelo filósofo grego e o estilo dialético de lógica foi desenvolvido pelos filósofos escolásticos como Aberlard em que um estilo dialético de lógica foi refinado, porém Frege introduziu um sistema de notação em que realizou provas matemáticas da lógica pura. Frege também publicou em 1884 os Fundamentos da Aritmética em que mais tarde ficou conhecido como a virada linguística por ser considerada a primeira obra da filosofia analítica que era uma forma que retomava problemas e depois os reformulava como questões de linguagem. Outro estudioso, foi Bertrand Russel que vinha estudando o trabalho de Frege em que descobriu um erro em seu pensamento que destruiu seu trabalho, esse erro é o famoso erro conhecido como o paradoxo de Russel e levou as bases da matemática para o próximo estágio.

Júlia Guimarães Ubiali, Licenciatura em Educação Física.